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2019年高考全国II卷文科数学试题(含解析)

时间:2019-07-26    点击: 次    来源:网络    作者:佚名 - 小 + 大

2019年普通高等学校招生全国统一考试

文科数学

本试卷共5页。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项:

1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚,将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2.选择题必须使用2B铅笔填涂;非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写,字体工整、笔迹清楚。

3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试卷上答题无效。

4.作图可先使用铅笔画出,确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合,,则AB=

A.(–1,+∞)                                                  B.(–∞,2)              

C.(–1,2)                                                        D.

2.设z=i(2+i),则=

A.1+2i                                                            B.–1+2i                     

C.1–2i                                                             D.–1–2i

3.已知向量a=(2,3),b=(3,2),则|ab|=

A.                                                             B.2

C.5                                                           D.50

4.生物实验室有5只兔子,其中只有3只测量过某项指标,若从这5只兔子中随机取出3只,则恰有2只测量过该指标的概率为

A.                                                               B.

C.                                                               D.

5.在“一带一路”知识测验后,甲、乙、丙三人对成绩进行预测.

甲:我的成绩比乙高.

乙:丙的成绩比我和甲的都高.

丙:我的成绩比乙高.

成绩公布后,三人成绩互不相同且只有一个人预测正确,那么三人按成绩由高到低的次序为

A.甲、乙、丙                                                 B.乙、甲、丙           

C.丙、乙、甲                                                  D.甲、丙、乙

6.设f(x)为奇函数,且当x≥0时,f(x)=,则当x<0时,f(x)=

A.                                                       B.   

C.                                                     D.

7.设αβ为两个平面,则αβ的充要条件是

A.α内有无数条直线与β平行

B.α内有两条相交直线与β平行

C.αβ平行于同一条直线

D.αβ垂直于同一平面

8.若x1=,x2=是函数f(x)=(>0)两个相邻的极值点,则=

A.2                                                                B.   

C.1                                                                D.

9.若抛物线y2=2pxp>0)的焦点是椭圆的一个焦点,则p=

A.2                                                                B.3      

C.4                                                                D.8

10.曲线y=2sinx+cosx在点(π,–1)处的切线方程为

A.                                       B. 

C.                                   D.

11.已知a∈(0,),2sin2α=cos2α+1,则sinα=

A.                                                             B. 

C.                                                          D.

12.设F为双曲线C:(a>0,b>0)的右焦点,O为坐标原点,以OF为直径的圆与圆x2+y2=a2交于PQ两点.若|PQ|=|OF|,则C的离心率为

A.                                                           B.  

C.2                                                               D.

二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.

13.若变量xy满足约束条件则z=3xy的最大值是___________.

14.我国高铁发展迅速,技术先进.经统计,在经停某站的高铁列车中,有10个车次的正点率为0.97,有20个车次的正点率为0.98,有10个车次的正点率为0.99,则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为___________.

15.的内角ABC的对边分别为abc.已知bsinA+acosB=0,则B=___________.

16.中国有悠久的金石文化,印信是金石文化的代表之一.印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体,但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”(图1).半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美.图2是一个棱数为48的半正多面体,它的所有顶点都在同一个正方体的表面上,且此正方体的棱长为1.则该半正多面体共有________个面,其棱长为_________.(本题第一空2分,第二空3分.)


三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.

(一)必考题:共60分。

17.(12分)

如图,长方体ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是正方形,点E在棱AA1上,BEEC1.


(1)证明:BE⊥平面EB1C1

(2)若AE=A1EAB=3,求四棱锥的体积.

18.(12分)

已知是各项均为正数的等比数列,.

(1)求的通项公式;

(2)设,求数列的前n项和.

19.(12分)

某行业主管部门为了解本行业中小企业的生产情况,随机调查了100个企业,得到这些企业第一季度相对于前一年第一季度产值增长率y的频数分布表.

的分组

企业数

2

24

53

14

7

(1)分别估计这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例、产值负增长的企业比例;

(2)求这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表).(精确到0.01)

附:.

20.(12分)

已知是椭圆的两个焦点,PC上一点,O为坐标原点.

(1)若为等边三角形,求C的离心率;

(2)如果存在点P,使得,且的面积等于16,求b的值和a的取值范围.

21.(12分)

已知函数.证明:

(1)存在唯一的极值点;

(2)有且仅有两个实根,且两个实根互为倒数.

(二)选考题:共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第一题计分.

22.[选修4-4:坐标系与参数方程](10分)

在极坐标系中,O为极点,点在曲线上,直线l过点且与垂直,垂足为P.

(1)当时,求及l的极坐标方程;

(2)当MC上运动且P在线段OM上时,求P点轨迹的极坐标方程.

23.[选修4-5:不等式选讲](10分)

已知 

(1)当时,求不等式的解集;

(2)若时,,求的取值范围.



1C              2D             3A             4B              5A             6D

7B              8A             9D             10C            11B            12A

139            140.98        15        16

17.解:(1)由已知得B1C1⊥平面ABB1A1BE平面ABB1A1

故.

又,所以BE⊥平面.

(2)由(1)知∠BEB1=90°.由题设知Rt△ABE≌Rt△A1B1E,所以,故AE=AB=3,.

作,垂足为F,则EF⊥平面,且.

所以,四棱锥的体积.


18.解:(1)设的公比为q,由题设得

,即.

解得(舍去)或q=4.

因此的通项公式为.

(2)由(1)得,因此数列的前n项和为.

19.解:(1)根据产值增长率频数分布表得,所调查的100个企业中产值增长率不低于40%的企业频率为.

产值负增长的企业频率为.

用样本频率分布估计总体分布得这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例为21%,产值负增长的企业比例为2%.

(2),



所以,这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值分别为30%,17%.

20.解:(1)连结,由为等边三角形可知在中,,于是,故的离心率是.

2)由题意可知,满足条件的点存在当且仅当,即,①

,②

,③

由②③及,又由①知,故.

由②③得,所以,从而.

时,存在满足条件的点P.

所以的取值范围为.

21.解:(1)的定义域为(0,+).

.

因为单调递增,单调递减,所以单调递增,又,

,故存在唯一,使得.

又当时,,单调递减;当时,,单调递增.

因此,存在唯一的极值点.

(2)由(1)知,又,所以在内存在唯一根.

由得.

又,故是在的唯一根.

综上,有且仅有两个实根,且两个实根互为倒数.

22.解:(1)因为在C上,当时,.

由已知得.

设为l上除P的任意一点.在中,

经检验,点在曲线上.

所以,l的极坐标方程为.

(2)设,在中, 即..

因为P在线段OM上,且,故的取值范围是.

所以,P点轨迹的极坐标方程为 .

23.解:(1)当a=1时,.

当时,;当时,.

所以,不等式的解集为.

(2)因为,所以.

当,时,.

所以,的取值范围是.

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