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2019年高考天津卷文科数学试题(含解析)

时间:2019-07-26    点击: 次    来源:网络    作者:佚名 - 小 + 大

绝密★启用前
2019年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)
数   学(文史类)
本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共150分,考试用时120分钟。第Ⅰ卷1至2页,第Ⅱ卷3至5页。
答卷前,考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上,并在规定位置粘贴考试用条形码。答卷时,考生务必将答案涂写在答题卡上,答在试卷上的无效。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
祝各位考生考试顺利
第Ⅰ卷
注意事项:
1.每小题选出答案后,用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。
2.本卷共8小题,每小题5分共40分。
参考公式:
·如果事件A,B互斥,那么 .
·圆柱的体积公式 ,其中 表示圆柱的底面面积, 表示圆柱的高
·棱锥的体积公式 ,其中 表示棱锥的底面面积, 表示棱锥的高
一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
(1)设集合 ,  ,  ,则 
(A){2} (B){2,3} (C){-1,2,3} (D){1,2,3,4}
 (2)设变量 满足约束条件 则目标函数 的最大值为
(A)2 (B)3 (C)5 (D)6
(3)设 ,则“ ”是“ ”的
(A)充分而不必要条件
(B)必要而不充分条件
(C)充要条件
(D)既不充分也不必要条件
(4)阅读右边的程序框图,运行相应的程序,输出 的值为
 
(A)5 (B)8 (C)24 (D)29
(5)已知 , , ,则 的大小关系为
(A) (B) 
(c) (D) 
(6)已知抛物线 的焦点为 ,准线为 .若与双曲线 的两条渐近线分别交于点A和点B,且 ( 为原点),则双曲线的离心率为
(A) (B) (C)2 (D) 
(7)已知函数 是奇函数,且 的最小正周期为 ,将 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),所得图象对应的函数为 .若 ,则 
(A)-2 (B) (C)  (D)2
(8)已知函数 若关于 的方程 恰有两个互异的实数解,则 的取值范围为
(A) (B) (C)  (D) 
绝密★启用前
2019年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)
数   学(文史类)
第Ⅱ卷
注意事项:
1.用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。
2.本卷共12小题,共110分。
二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分。
(9) 是虚数单位,则的值 的值为__________.
(10)设 ,使不等式 成立的 的取值范围为__________.
(11)曲线 在点 处的切线方程为__________.
(12)已知四棱锥的底面是边长为 的正方形,侧棱长均为 .若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点,另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心,则该圆柱的体积为__________.
(13)设 , , ,则 的最小值为__________.
(14)在四边形 中, ,  ,  ,  ,点 在线段 的延长线上,且 ,则 __________.
三.解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
(15)(本小题满分13分)
2019年,我国施行个人所得税专项附加扣除办法,涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除.某单位老、中、青员工分别有 人,现采用分层抽样的方法,从该单位上述员工中抽取 人调查专项附加扣除的享受情况.
(Ⅰ)应从老、中、青员工中分别抽取多少人?
(Ⅱ)抽取的25人中,享受至少两项专项附加扣除的员工有6人,分别记为 .享受情况如右表,其中“ ”表示享受,“×”表示不享受.现从这6人中随机抽取2人接受采访.
员工
项目 A B C D E F
子女教育 × ×
继续教育 × × ×
大病医疗 × × × × ×
住房贷款利息 × ×
住房租金 × × × × ×
赡养老人 × × ×
(i)试用所给字母列举出所有可能的抽取结果;
(ii)设 为事件“抽取的2人享受的专项附加扣除至少有一项相同”,求事件 发生的概率.
(16)(本小题满分13分)
在 中,内角 所对的边分别为 .已知 , .
(Ⅰ)求 的值;
(Ⅱ)求 的值.
(17)(本小题满分13分)
如图,在四棱锥 中,底面 为平行四边形, 为等边三角形,平面 平面 , , , ,
 
(Ⅰ)设 分别为 的中点,求证: 平面 ;
(Ⅱ)求证: 平面 ;
(Ⅲ)求直线 与平面 所成角的正弦值.
(18)(本小题满分13分)
设 是等差数列, 是等比数列,公比大于 ,已知 ,  , .
(Ⅰ)求 和 的通项公式;
(Ⅱ)设数列 满足 求 .
(19)(本小题满分14分)
设椭圆 的左焦点为 ,左顶点为 ,顶点为B.已知 ( 为原点).
(Ⅰ)求椭圆的离心率;
(Ⅱ)设经过点 且斜率为 的直线 与椭圆在 轴上方的交点为 ,圆 同时与 轴和直线 相切,圆心 在直线 上,且 ,求椭圆的方程.
(20)(本小题满分14分
设函数 ,其中 .
(Ⅰ)若 ,讨论 的单调性;
(Ⅱ)若 ,
(i)证明 恰有两个零点
(ii)设 为 的极值点, 为 的零点,且 ,证明 .






绝密★启用前
2019年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)
数   学(文史类)参考解答
一.选择题:本题考查基本知识和基本运算.每小题5分,满分40分
(1)D (2)C (3)B (4)B
(5)A (6)D (7)C (8)D
二.填空题:本题考查基本知识和基本运算.每小题5分,满分30分
(9) (10) (11) 
(12) (13) (14) 
三.解答题
(15)本小题主要考查随机抽样、用列举法计算随机事件所含的基本事件数、古典概型及其概率计算公式等基本知识,考查运用概率知识解决简单实际问题的能力,满分13分.
解:(1)由已知,老、中、青员工人数之比为 ,由于采用分层抽样的方法从中抽取25位员工,因此应从老、中、青员中分别抽取6人,9人,10人.
(Ⅱ)(i)从已知的6人中随机抽取2人的所有可能结果为
 ,共15种.
(ii)由表格知,符合题意的所有可能结果为
 ,共11种.
所以,事件 发生的概率 
(16)本小题主要考查同角三角函数的基本关系,两角和的正弦公式,二倍角的正弦与余弦公式,以及正弦定理、余弦定理等基础知识.考查运算求解能力.满分13分.
(1)解:在 中,由正弦定理 ,得 ,又由 ,得 ,即 .又因为 ,得到 , .由余弦定理可得
 .
(Ⅱ)解:由(1)可得 
,从而 , ,故 .
(17)本小题主要考查直线与平面平行直线与平面垂直、平面与平面垂直、直线与平面所成的角等基础知识.考查空间想象能力和推理论证能力满分13分.
 
(Ⅰ)证明:连接 ,易知 , .又由 ,故 ,又因为 平面 , 平面 ,所以 平面 .
(Ⅱ)证明:取棱 的中点 ,连接 .依题意,得 ,又因为平面 平面 ,平面 平面 ,所以 平面 ,交 平面 ,故 .又已知 , ,所以 平面 .
(Ⅲ)解:连接 ,由(Ⅱ)中 平面 ,可知 为直线 与平面 所成的角,
因为 为等边三角形, 且 为 的中点,所以 .又 ,
在 中, .
所以,直线 与平面 所成角的正弦值为 .
(18)本小题主要考查等差数列、等比数列的通项公式及其前 项和公式等基础知识,考查数列求和的基本方法和运算求解能力.满分13分.
(Ⅰ)解:设等差数列 的公差为 ,等比数列 的公比为 依题意,得 ,解得 ,故 , .
所以, 的通项公式为 , 的通项公式 为 .
(Ⅱ)解: 
         
         
         
         .  ①
         ,   ②
②-①得, .
所以, 
                            .
(19)本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程、圆等基础知识.考查用代数方法研究圆锥曲线的性质.考查运算求解能力,以及用方程思想、数形结合思想解决问题的能力,满分14分.
(Ⅰ)解:设椭圆的半焦距为 ,由已知有 ,又由 ,消去 得 ,解得 .
所以,椭圆的离心率为 .
(Ⅱ)解:由(Ⅰ)知, ,  ,故椭圆方程为 .由题意, ,则直线 的方程为 .点P的坐标满足 ,消去 并化简,得到 ,解得 , ,代入到 的方程,解得 , .因为点 在 轴上方,所以 .由圆心 在直线 上,可设 .因为 ,且由(Ⅰ)知 ,故 ,解得 .因为圆 与 轴相切,所以圆的半径为2,又由圆 与 相切,得 ,可得 .
所以,椭圆的方程为 .
(20)本小题主要考查导数的运算、不等式证明、运用导数研究函数的性质等基础知识和方法,考查函数思想、化归与转化思想.考查综合分析问题和解决问题的能力.满分14分.
(Ⅰ)解:由已知, 的定义域为 ,且
 
因此当 时,  ,从而 ,所以 在 内单调递增.
(Ⅱ)证明:(i)由(Ⅰ)知 .令 ,由 ,
可知 在 内单调递减,又 ,且
 .
故 在 内有唯一解,从而 在 内有唯一解,不妨设为 ,则 .当 时, ,所以 在 内单调递增;当 时, ,所以 在 内单调递减,因此 是 的唯一极值点.
令 ,则当 时, ,故 在 内单调递减,从而当 时,  ,所以 .从而
 ,
又因为 ,所以 在 内有唯零点.又 在 内有唯一零点1,从而, )在 内恰有两个零点.
(ii)由题意, 即 ,从而 ,即 .因为当 时,  ,又 ,故 ,两边取对数,得 ,于是
 ,
整理得 .

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