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时间：2019-07-26 点击： 次 来源：网络 作者：佚名 - 小 + 大
| 绝密★启用前 2019年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷） 数 学（文史类） 本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页。 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 祝各位考生考试顺利 第Ⅰ卷 注意事项： 1.每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。 2.本卷共8小题，每小题5分共40分。 参考公式： ·如果事件A，B互斥，那么 . ·圆柱的体积公式 ，其中 表示圆柱的底面面积， 表示圆柱的高 ·棱锥的体积公式 ，其中 表示棱锥的底面面积， 表示棱锥的高 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 （1）设集合 ， ， ，则 （A）{2} （B）{2，3} （C）{-1，2，3} （D）{1，2，3，4} （2）设变量 满足约束条件 则目标函数 的最大值为 （A）2 （B）3 （C）5 （D）6 （3）设 ，则“ ”是“ ”的 （A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 （C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件 （4）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，输出 的值为 （A）5 （B）8 （C）24 （D）29 （5）已知 ， ， ，则 的大小关系为 （A） （B） （c） （D） （6）已知抛物线 的焦点为 ，准线为 .若与双曲线 的两条渐近线分别交于点A和点B，且 （ 为原点），则双曲线的离心率为 （A） （B） （C）2 （D） （7）已知函数 是奇函数，且 的最小正周期为 ，将 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为 .若 ，则 （A）-2 （B） （C） （D）2 （8）已知函数 若关于 的方程 恰有两个互异的实数解，则 的取值范围为 （A） （B） （C） （D） 绝密★启用前 2019年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷） 数 学（文史类） 第Ⅱ卷 注意事项： 1.用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。 2.本卷共12小题，共110分。 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。 （9） 是虚数单位，则的值 的值为__________. （10）设 ，使不等式 成立的 的取值范围为__________. （11）曲线 在点 处的切线方程为__________. （12）已知四棱锥的底面是边长为 的正方形，侧棱长均为 .若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为__________. （13）设 ， ， ，则 的最小值为__________. （14）在四边形 中， ， ， ， ，点 在线段 的延长线上，且 ，则 __________. 三.解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （15）（本小题满分13分） 2019年，我国施行个人所得税专项附加扣除办法，涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除.某单位老、中、青员工分别有 人，现采用分层抽样的方法，从该单位上述员工中抽取 人调查专项附加扣除的享受情况. （Ⅰ）应从老、中、青员工中分别抽取多少人？ （Ⅱ）抽取的25人中，享受至少两项专项附加扣除的员工有6人，分别记为 .享受情况如右表，其中“ ”表示享受，“×”表示不享受.现从这6人中随机抽取2人接受采访. 员工 项目 A B C D E F 子女教育 ○ ○ × ○ × ○ 继续教育 × × ○ × ○ ○ 大病医疗 × × × ○ × × 住房贷款利息 ○ ○ × × ○ ○ 住房租金 × × ○ × × × 赡养老人 ○ ○ × × × ○ （i）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果； （ii）设 为事件“抽取的2人享受的专项附加扣除至少有一项相同”，求事件 发生的概率. （16）（本小题满分13分） 在 中，内角 所对的边分别为 .已知 ， . （Ⅰ）求 的值； （Ⅱ）求 的值. （17）（本小题满分13分） 如图，在四棱锥 中，底面 为平行四边形， 为等边三角形，平面 平面 ， ， ， ， （Ⅰ）设 分别为 的中点，求证： 平面 ； （Ⅱ）求证： 平面 ； （Ⅲ）求直线 与平面 所成角的正弦值. （18）（本小题满分13分） 设 是等差数列， 是等比数列，公比大于 ，已知 ， ， . （Ⅰ）求 和 的通项公式； （Ⅱ）设数列 满足 求 . （19）（本小题满分14分） 设椭圆 的左焦点为 ，左顶点为 ，顶点为B.已知 （ 为原点）. （Ⅰ）求椭圆的离心率； （Ⅱ）设经过点 且斜率为 的直线 与椭圆在 轴上方的交点为 ，圆 同时与 轴和直线 相切，圆心 在直线 上，且 ，求椭圆的方程. （20）（本小题满分14分 设函数 ，其中 . （Ⅰ）若 ，讨论 的单调性； （Ⅱ）若 ， （i）证明 恰有两个零点 （ii）设 为 的极值点， 为 的零点，且 ，证明 . 绝密★启用前 2019年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷） 数 学（文史类）参考解答 一.选择题：本题考查基本知识和基本运算.每小题5分，满分40分 （1）D （2）C （3）B （4）B （5）A （6）D （7）C （8）D 二.填空题：本题考查基本知识和基本运算.每小题5分，满分30分 （9） （10） （11） （12） （13） （14） 三.解答题 （15）本小题主要考查随机抽样、用列举法计算随机事件所含的基本事件数、古典概型及其概率计算公式等基本知识，考查运用概率知识解决简单实际问题的能力，满分13分. 解：（1）由已知，老、中、青员工人数之比为 ，由于采用分层抽样的方法从中抽取25位员工，因此应从老、中、青员中分别抽取6人，9人，10人. （Ⅱ）（i）从已知的6人中随机抽取2人的所有可能结果为 ，共15种. （ii）由表格知，符合题意的所有可能结果为 ，共11种. 所以，事件 发生的概率 （16）本小题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和的正弦公式，二倍角的正弦与余弦公式，以及正弦定理、余弦定理等基础知识.考查运算求解能力.满分13分. （1）解：在 中，由正弦定理 ，得 ，又由 ，得 ，即 .又因为 ，得到 ， .由余弦定理可得 . （Ⅱ）解：由（1）可得 ，从而 ， ，故 . （17）本小题主要考查直线与平面平行直线与平面垂直、平面与平面垂直、直线与平面所成的角等基础知识.考查空间想象能力和推理论证能力满分13分. （Ⅰ）证明：连接 ，易知 ， .又由 ，故 ，又因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 . （Ⅱ）证明：取棱 的中点 ，连接 .依题意，得 ，又因为平面 平面 ，平面 平面 ，所以 平面 ，交 平面 ，故 .又已知 ， ，所以 平面 . （Ⅲ）解：连接 ，由（Ⅱ）中 平面 ，可知 为直线 与平面 所成的角， 因为 为等边三角形， 且 为 的中点，所以 .又 ， 在 中， . 所以，直线 与平面 所成角的正弦值为 . （18）本小题主要考查等差数列、等比数列的通项公式及其前 项和公式等基础知识，考查数列求和的基本方法和运算求解能力.满分13分. （Ⅰ）解：设等差数列 的公差为 ，等比数列 的公比为 依题意，得 ，解得 ，故 ， . 所以， 的通项公式为 ， 的通项公式 为 . （Ⅱ）解： . ① ， ② ②-①得， . 所以， . （19）本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程、圆等基础知识.考查用代数方法研究圆锥曲线的性质.考查运算求解能力，以及用方程思想、数形结合思想解决问题的能力，满分14分. （Ⅰ）解：设椭圆的半焦距为 ，由已知有 ，又由 ，消去 得 ，解得 . 所以，椭圆的离心率为 . （Ⅱ）解：由（Ⅰ）知， ， ，故椭圆方程为 .由题意， ，则直线 的方程为 .点P的坐标满足 ，消去 并化简，得到 ，解得 ， ，代入到 的方程，解得 ， .因为点 在 轴上方，所以 .由圆心 在直线 上，可设 .因为 ，且由（Ⅰ）知 ，故 ，解得 .因为圆 与 轴相切，所以圆的半径为2，又由圆 与 相切，得 ，可得 . 所以，椭圆的方程为 . （20）本小题主要考查导数的运算、不等式证明、运用导数研究函数的性质等基础知识和方法，考查函数思想、化归与转化思想.考查综合分析问题和解决问题的能力.满分14分. （Ⅰ）解：由已知， 的定义域为 ，且 因此当 时， ，从而 ，所以 在 内单调递增. （Ⅱ）证明：（i）由（Ⅰ）知 .令 ，由 ， 可知 在 内单调递减，又 ，且 . 故 在 内有唯一解，从而 在 内有唯一解，不妨设为 ，则 .当 时， ，所以 在 内单调递增；当 时， ，所以 在 内单调递减，因此 是 的唯一极值点. 令 ，则当 时， ，故 在 内单调递减，从而当 时， ，所以 .从而 ， 又因为 ，所以 在 内有唯零点.又 在 内有唯一零点1，从而， ）在 内恰有两个零点. （ii）由题意， 即 ，从而 ，即 .因为当 时， ，又 ，故 ，两边取对数，得 ，于是 ， 整理得 . |