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2019年高考江苏卷数学试题(含解析)

时间:2019-07-26    点击: 次    来源:网络    作者:佚名 - 小 + 大

2019年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)
数学I
一、填空题
1.已知集合 , ,则       .
答案:
 
2.已知复数 的实部为 ,其中 为虚数单位,则实数 的值是      .
答案:
 
3.右图是一个算法流程图,则输出的 的值是      .
 
答案:
 
4.函数 的定义域是      .
答案:
 
5.已知一组数据 , , , , ,则该组数据的方差是      .
答案:
 
6.从 名男同学和 名女同学中任选 名同学参加志愿者服务,则选出的 名同学中至少有 名女同学的概率是     .
答案:
 
7.在平面直角坐标系 中,若双曲线 经过点 ,则该双曲线的渐近线方程是      .
答案:
 
8.已知 是等差数列, 是其前 项和,若 , ,则 的值是       .
答案:
 
9.如图,长方体 的体积是 , 为 的中点,则三棱锥 的体积是       .
 
答案:
 
10.在平面直角坐标系 中, 是曲线 上的一个动点,则点 到直线 的距离的最小值是       .
答案:
 
11.在平面直角坐标系 中,点 在曲线 上,且该曲线在点 处的切线经过点 ( 为自然对数的底数),则点 的坐标是       .
答案:
 
12.如图,在 中, 是 的中点, 在边 上, , 与 交于点 ,若 ,则 的值是       .
 
答案:
 
13.已知 ,则 的值是       .
答案:
 
14.设 , 是定义在 上的两个周期函数, 的周期为 , 的周期为 ,且 是奇函数,当 时, ,
 ,其中 ,若在区间 上,关于 的方程 有 不同的实数根,则 的取值范围是      .
答案:
 
二、解答题
15.在 中,角 , , 的对边分别为 , , .
(1)若 , , ,求 的值;
(2)若 ,求 的值.
答案:
见解析
解答:
(1) .
(2) , .
16.如图,在直三棱柱 中, , 分别为 , 的中点, .
求证:
 
(1) 平面 ;
(2) .
答案:
见解析
解答:
(1)证明:“直三棱柱 ,∴四边形 是平行四边形,∴ 
又∵ 、 分别是 、 的中点, ,∴ ,又 平面 , ,
∴ 平面 .
(2)证明:∵直三棱柱 ,.∴ 平面 ,又∵ 平面 ,∴ ,
又∵ , 是 的中点,∴ ,∵ , 平面 , 平面 ,
∴ 平面 ,又 平面 ,∴ .
17.如图,在平面直角坐标系 中,椭圆 的焦点为 , .过 作 轴的垂线 ,在 轴的上方, 与圆 交于点 ,与椭圆 交于点 .连结 ,并延长交圆 于点 ,连结 交椭圆 于点 ,连结 .
已知 .
 
(1)求椭圆 的标准方程;
(2)求点 的坐标.
答案:
见解析
解答:
(1) , 
 , , . 
(2)圆: . , ,,联立直线和圆得 . 联立直线和椭圆得 .
18.如图、一个湖的边界是圆心为 的绩、湖的一侧有一条直线型公路 、湖上有桥 ( 是湖 的直径)、规划在公路 上选两个点 、 、并修建两段直线的道路 、 、规划要求:线段 、 上的所有点 的距离不小于圆 的半径,已知点 , 到直线 的距离分为 和 ( , 为垂足)(单位:百米)
 
(1)若道路 与桥 垂直,求道路 的长;
(2)在规划要求下, 和 中能否有一个点选在 处?并说明雅由:
(3)在规划要求下,若道路 和 的长度均为 (单位:百米),求当 最小时, 、 两点简的距离.
答案:
见解析
解答:
(1)如图 ;
 
(2) ,故不可;
(3) .
19.设函数 ...........为 的导函数.
(1)若 , ,求 的值;
(2)若 , ,且 和 的零点均在集合 中,求 的极小值;
(3)若 , , ,且 的极大值为 ,求证: .
答案:
见解析
解答:
(1)易知 , .
(2)易知 , 
 .
易知 ,则 , ,则 , ,则 在上单 调增,在 上单调减,在 上单调增。
则 的极小值为 .
(3)易知 ,
①当 时, , ,此时易知 ,成立;
②当 时; , ,
由于 , , ,
则存在 , ,且易知 ,
由 ,
则 
 ,
令 ,则 .
令 , , ,
则 ,则 ;
综上可知 成立,证毕.
20.定义首项为 且公比为正数的等比数列为“ -数列”.
(1)已知等比数列 满足: , ,求证:数列 为“ 一数列”;
(2)已知数列 满足: , ,其中 为数列 的前 项和.
①求数列 的通项公式:
②设 为正整数,若存在“ -数列” 、对任意正整数 、当 时,都有 成立,求 的最大值.
答案:
见解析
解答:
(1)易知 ,即证;
(2)① ;② .

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