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2019年高考上海卷数学试题(含解析)

时间：2019-07-26 点击：次来源：网络作者：佚名 - 小 + 大

2019年普通高等学校招生全国统一考试数学（上海卷）
一、填空题
1.已知集合，，则 .
答案：
解答： .
2.已知，且满足，求 .
答案：
解答： .
3.已知向量，，则与的夹角为 .
答案：
解答： .
4.已知二项式，则展开式中含项的系数为 .
答案：
解答：的系数为 .
5.已知、满足，求的最小值为 .
答案：
解答：线性规划作图，后求出边界点代入求最值，当，时， .
6.已知函数周期为，且当，，则 .
答案：
解答： .
7.若，，且，则的最大值为 .
答案：
解答：法一：，∴ ；
法二：由，，求二次最值 .
8.已知数列前项和为，且满足，则 .
答案：
解答：由得：，∴ 为等比数列，且，，∴ .
9.过曲线的焦点并垂直于轴的直线分别与曲线交于、，在上方，为抛物线上一点，，则 .
答案：
解答：依题意求得：，，设坐标为，
有：，带入有：，即 .
10.某三位数密码，每位数字可在这个数字中任选一个，则该三位数密码中，恰有两位数字相同的概率是 .
答案：
解答：法一：（分子含义：选相同数字选位置选第三个数字）；
法二：（分子含义：三位数字都相同三位数字都不同）.
11.已知数列满足，若均在双曲线上，则 .
答案：
解答：法一：由得：，∴ ，
，利用两点间距离公式求解极限：；
法二：（极限法）：当时，与渐近线平行，在轴投影为，渐近线斜角满足：，∴ .
12.已知，与轴交点为，若对于图像上任意一点，在其图像上总存在另一点（、异于），满足，且，则 .
答案：
解答：如图所求，利用极限思想，当时，点可以看成在直线上，同时点可以看成在直线上，所以，即，所以 .

二、选择题
13.已知直线方程的一个方向向量可以是（）
A. B. C. D.
答案：D
解答：依题意：为直线的一个法向量，∴方向向量为 .
14.一个直角三角形的两条直角边长分别为和，将该三角形分别绕其两个直角边旋转得到的两个圆锥的体积之比为（）
A. B. C. D.
答案：B
解答：依题意，， .
15.已知，函数，存在常数，使得为偶函数，则的值可能为（）
A. B. C. D.
答案：C
解答：法一：依次代入选项的值，检验的奇偶性；
法二：，若为偶函数，则，且也为偶函数（偶函数偶函数偶函数），∴ ，当时， .
16.已知，有下列两个结论：①存在在第一象限，在第三象限；②存在在第二象限，在第四象限；则（）
A.①②均正确
B.①②均错误
C.①对②错
D.①错②对
答案：D
解答：取特殊值检验法：例如：令和，求是否存在（考试中，若有解时则认为存在，取多组解时发现没有解，则可认为不存在）
三、解答题
17.如图，在长方体中，为上一点，已知，，， .
（1）求直线与平面的夹角.
（2）求点到平面的距离.

解析：（1）在长方体中，显然平面，
∴直线与平面的夹角是，
∵ ，，，
∴ ，
∴ .
（2）∵ ，
∴
在中，根据余弦定理可得，
∴ ，
设点到平面的距离为，
∵ (等体积法)，
∴ .
18.已知， .
（1）当时，求不等式的解集.
（2）若在时有零点，求的取值范围.
解析：（1）时，，即，解得，所以不等式的解集为 .
（2），，， .
19.如图，为海岸线，为线段，为四分之一圆弧，，，， .
（1）求的长度.
（2）若，求到海岸线的最短距离.（精确到）

解析：

（1），∴ ，，，
即
（2） .
在中，
∴ ，
∴ .
∴ 到海岸线最短距离为 .
20.已知椭圆，，为左、右焦点，直线过交椭圆于，两点.
（1）若直线垂直于轴，求 .
（2）当时，在轴上方时，求，的坐标.
（3）若直线交轴于，直线交轴于，是否存在直线，使得，若存在，求出直线的方程，若不存在，请说明理由.
解析：由题意知椭圆中，
（1）直线过且垂直于轴，则，该直线与椭圆交点的纵坐标，
所以 .
（2）当时，在轴上方时，知，又椭圆中，则，
有，与椭圆方程联立，消去得，
则，所以 .
（3）设存在直线，，

，
即，

，则上式化简得，
由，
，

所以，解得，
即所求直线的方程为 .
21.数列有项，，对任意，存在，，若与前项中某一项相等，则称具有性质 .
（1）若，，求所有可能的值.
（2）若不是等差数列，求证：数列中存在某些项具有性质 .
（3）若中恰有三项具有性质，这三项具有性质，这三项和为，请用，，表示 .
解析：（1），，则，或，
的情况可能为，， .
（2）假设数列中不存在具有性质的项，即在数列中，任意两项都不相同，
依题意，，因为，则；，又
因为数列中任意两项都不相同，则即；依此类推对任意，，由于假设成立，则只能取，
即，所以数列是等差数列与已知条件数列不是等差数列矛盾，所以原假设错误，数列中存在具有性质的项成立.
（3）将数列中具有性质的三项去掉，形成一个新数列，，时，，且中没有满足性质的项，由（2）可得，
数列为以为首项，为公差的等差数列，则有
，
又中去掉的三项之和为，所以 .

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