时间：2019-07-26 点击： 次 来源：网络 作者：佚名 - 小 + 大
| 2019年普通高等学校招生全国统一考试数学（上海卷） 一、填空题 1.已知集合 ， ，则 . 答案： 解答： . 2.已知 ，且满足 ，求 . 答案： 解答： . 3.已知向量 ， ，则 与 的夹角为 . 答案： 解答： . 4.已知二项式 ，则展开式中含 项的系数为 . 答案： 解答： 的系数为 . 5.已知 、 满足 ，求 的最小值为 . 答案： 解答：线性规划作图，后求出边界点代入求最值，当 ， 时， . 6.已知函数 周期为 ，且当 ， ，则 . 答案： 解答： . 7.若 ， ，且 ，则 的最大值为 . 答案： 解答：法一： ，∴ ； 法二：由 ， ，求二次最值 . 8.已知数列 前 项和为 ，且满足 ，则 . 答案： 解答：由 得： ，∴ 为等比数列，且 ， ，∴ . 9.过曲线 的焦点 并垂直于 轴的直线分别与曲线 交于 、 ， 在 上方， 为抛物线上一点， ，则 . 答案： 解答：依题意求得： ， ，设 坐标为 ， 有： ，带入 有： ，即 . 10.某三位数密码，每位数字可在 这 个数字中任选一个，则该三位数密码中，恰有两位数字相同的概率是 . 答案： 解答：法一： （分子含义：选相同数字 选位置 选第三个数字）； 法二： （分子含义：三位数字都相同 三位数字都不同）. 11.已知数列 满足 ，若 均在双曲线 上，则 . 答案： 解答：法一：由 得： ，∴ ， ，利用两点间距离公式求解极限： ； 法二：（极限法）：当 时， 与渐近线平行， 在 轴投影为 ，渐近线斜角 满足： ，∴ . 12.已知 ， 与 轴交点为 ，若对于 图像上任意一点 ，在其图像上总存在另一点 （ 、 异于 ），满足 ，且 ，则 . 答案： 解答：如图所求，利用极限思想，当 时，点 可以看成在直线 上，同时点 可以看成在直线 上，所以 ，即 ，所以 . 二、选择题 13.已知直线方程 的一个方向向量 可以是（ ） A. B. C. D. 答案：D 解答：依题意： 为直线的一个法向量，∴方向向量为 . 14.一个直角三角形的两条直角边长分别为 和 ，将该三角形分别绕其两个直角边旋转得到的两个圆锥的体积之比为（ ） A. B. C. D. 答案：B 解答：依题意， ， . 15.已知 ，函数 ，存在常数 ，使得 为偶函数，则 的值可能为（ ） A. B. C. D. 答案：C 解答：法一：依次代入选项的值，检验 的奇偶性； 法二： ，若 为偶函数，则 ，且 也为偶函数（偶函数 偶函数 偶函数），∴ ，当 时， . 16.已知 ，有下列两个结论：①存在 在第一象限， 在第三象限；②存在 在第二象限， 在第四象限；则（ ） A.①②均正确 B.①②均错误 C.①对②错 D.①错②对 答案：D 解答：取特殊值检验法：例如：令 和 ，求 是否存在（考试中，若有解时则认为存在，取多组解时发现没有解，则可认为不存在） 三、解答题 17.如图，在长方体 中， 为 上一点，已知 ， ， ， . （1）求直线 与平面 的夹角. （2）求点 到平面 的距离. 解析：（1）在长方体 中，显然 平面 ， ∴直线 与平面 的夹角是 ， ∵ ， ， ， ∴ ， ∴ . （2）∵ ， ∴ 在 中，根据余弦定理可得 ， ∴ ， 设点 到平面 的距离为 ， ∵ (等体积法)， ∴ . 18.已知 ， . （1）当 时，求不等式 的解集. （2）若 在 时有零点，求 的取值范围. 解析：（1） 时， ，即 ，解得 ，所以不等式 的解集为 . （2） ， ， ， . 19.如图， 为海岸线， 为线段， 为四分之一圆弧， ， ， ， . （1）求 的长度. （2）若 ，求 到海岸线 的最短距离.（精确到 ） 解析： （1） ，∴ ， ， ， 即 （2） . 在 中， ∴ ， ∴ . ∴ 到海岸线最短距离为 . 20.已知椭圆 ， ， 为左、右焦点，直线 过 交椭圆于 ， 两点. （1）若直线 垂直于 轴，求 . （2）当 时， 在 轴上方时，求 ， 的坐标. （3）若直线 交 轴于 ，直线 交 轴于 ，是否存在直线 ，使得 ，若存在，求出直线 的方程，若不存在，请说明理由. 解析：由题意知椭圆中 ， （1）直线 过 且垂直于 轴，则 ，该直线与椭圆交点的纵坐标 ， 所以 . （2）当 时， 在 轴上方时，知 ，又椭圆中 ，则 ， 有 ，与椭圆方程联立，消去 得 ， 则 ，所以 . （3）设存在直线 ， ， ， 即 ， ，则上式化简得 ， 由 ， ， 所以 ，解得 ， 即所求直线 的方程为 . 21.数列 有 项， ，对任意 ，存在 ， ，若 与前 项中某一项相等，则称 具有性质 . （1）若 ， ，求 所有可能的值. （2）若 不是等差数列，求证：数列 中存在某些项具有性质 . （3）若 中恰有三项具有性质 ，这三项具有性质 ，这三项和为 ，请用 ， ， 表示 . 解析：（1） ， ，则 ， 或 ， 的情况可能为 ， ， . （2）假设数列 中不存在具有性质 的项，即在数列 中，任意两项都不相同， 依题意 ， ，因为 ，则 ； ，又 因为数列 中任意两项都不相同，则 即 ；依此类推对任意 ， ，由于假设成立，则 只能取 ， 即 ，所以数列 是等差数列与已知条件数列 不是等差数列矛盾，所以原假设错误，数列 中存在具有性质 的项成立. （3）将数列中具有性质 的三项去掉，形成一个新数列 ， ， 时， ，且 中没有满足性质 的项，由（2）可得， 数列 为以 为首项， 为公差的等差数列，则有 ， 又 中去掉的三项之和为 ，所以 . |
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