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江苏省苏州市2019-2020学年第一学期期末学业质量阳光指标调研卷高三数学试题无附加题(解析版)

时间:2020-02-26    点击: 次    来源:网络    作者:佚名 - 小 + 大

为响应“生产发展、生活富裕、乡风文明、村容整洁、管理民主”的社会主义新农村建设,某自然村将村边一块废弃的扇形荒地(如图)租给蜂农养蜂、产蜜与售蜜.已知扇形AOB中,∠AOB= ,OB= (百米),荒地内规划修建两条直路AB,OC,其中点C在 上(C与A,B不重合),在小路AB与OC的交点D处设立售蜜点,图中阴影部分为蜂巢区,空白部分为蜂源植物生长区.设∠BDC= ,蜂巢区的面积为S(平方百米).
(1)求S关于 的函数关系式;
(2)当 为何值时,蜂巢区的面积S最小,并求此时S的最小值.
【答案】见解答。
【分析】阴影部分由两块组成,左边是三角形ADO,右侧是不规则图形,可用扇形OCB减去△BOD。两者相加即可。
【解答】(1)AO=OB= ,∠AOB= ,由余弦定理求得AB=6.在△BDO中应用正弦定理,有 ,即 ,因此 ,AD= 。 

整理得 , ( ).
(2)对 求导,得 ,令 ,解得 。
当 时, ,S递减。
当 时, ,S递增。
当 时, ,S递减。
综上所述,S的最小值只可能在 或 趋近 时取得。
当 时, ,当 时, 
因此,当 时,S取最小值, 。
【点评】本题考察用三角函数解决实际问题,通过转化将不规则图形面积转化成规则图形面积相加减,通过三角函数计算化简的函数表达式。随后利用导数探索函数增减性,求得最小值。本题计算量较大,有一定综合性,属于中档题。

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