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时间：2019-07-26 点击： 次 来源：网络 作者：佚名 - 小 + 大
| 2019年普通高等学校招生全国统一考试 数学（理）（北京卷） 一、选择题 1.已知复数 ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】∵ ，∴ ， ∴ . 2.执行如图所示的程序框图，输出的 的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】∵ ， ，∴ . . . .此时 . ∴ . 3.已知直线 的参数方程为 （ 为参数），则点 到直线 的距离是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】由直线的参数方程可得直线的普通方程为 ，则点 到直线 的距离为 . 4.已知椭圆 的离心率为 ，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】由题意知， ，所以 . 5.若 ， ，满足 ，且 ，则 的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】根据题意，约束条件为： 或 ，由约束条件画出如下可行域 令 ，则 ，平移 ，可知当直线 移动到经过点 时， 取得最大值，最大值为 . 6.在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述，两颗星的星等与亮度满足 ，其中星等为 的星的亮度为 .已知太阳的星等是 ，天狼星的星等是 ，则太阳与天狼星的亮度的比值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】由题意可知，设 ， ，则 ， 解得 . 7.设点 ， ， 不共线，则“ 与 的夹角为锐角”是“ ”的（ ） A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】∵设 与 的向量夹角为 ， ∴ . 又∵ . 即 , . ∴为充分必要条件. 8.数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线 就是其中之一（如图），给出下列三个结论： ①曲线 恰好经过 个整点（即横、纵坐标均为整数的点）； ②曲线 上任意一点到原点的距离都不超过 ； ③曲线 所围成的“心形”区域的面积小于 . 其中，所有正确结论的序号是（ ） A.① B.② C.①② D.①②③ 【答案】C 【解析】由题意结合图像可知，该曲线关于 轴对称，且与坐标轴的交点坐标为 ， ， 因为 ，（当且仅当 时等号成立）即 ， 所以曲线 上任意一点 到原点的距离 ，故②对； 由②结合图像判断可知，曲线 经过的整点有 ， ， ，故①对； 设点 ， ， ， ， ， ， ∵ ， ， ∴观察图像可知，曲线 所围成的“心形”区域的面积 ，故③错. 二、填空题 9.函数 的最小正周期是 . 【答案】 【解析】∵ . ∴ . 10.设等差数列 的前 项和为 ，若 ， ，则 ， 的最小值为 . 【答案】 ； 【解析】由题意，可得 ，解得 ，所以 ， ，因为 ,所以当 或 时， 取得最小值，最小值为 . 11.某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得，其三视图如图所示，如果网格纸上小正方形的边长为 ，那么该几何体的体积为 . 【答案】40 【解析】由题意结合三视图可知，去掉的四棱柱是底面为直角梯形的直四棱柱，且直角梯形的底分别为 和 ，高为 ，直四棱柱的高为 ，故该几何体的体积为 . 12.已知 ， 是平面 外的两条不同直线.给出下列三个论断： ① ；② ；③ . 以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题： . 【答案】若①③，则②或若②③，则① 【解析】∵ ， ，∴若 ， ，构造过 的平面 ，设 ，则 ，故 ，则 ；若 ， ，则可在平面 内找到一条直线 使得 ，故 ，则 ；若 ， ，则 与 可能平行或相交. 13.设函数 （ 为常数）.若 为奇函数，则 ；若 是 上的增函数，则 的取值范围是 . 【答案】 ； 【解析】 是奇函数， ，解得 ； 是 上的增函数， 恒成立，即 ，解得 . 14.李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为 元/盒、 元/盒、 元/盒、 元/盒.为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到 元，顾客就少付 元.每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的 . ①当 时，顾客一次购买草莓和西瓜各 盒，需支付 元； ②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额不低于促销前总价的七折，则 的最大值为 . 【答案】 ； 【解析】依据题意有：顾客需支付 （元）. 依据题意设购物总价为 （ ）. ∴有 . ∴ ，又∵ ，∴ 的最大值为 . 三、解答题 15.在 中， ， ， . （Ⅰ）求 、 的值； （Ⅱ）求 的值. 【解析】(1)在 中， ， ，由余弦定理可知， ，解得 ，∴ . (2)∵在 中， ，∴ ， ， ∴ ，由正弦定理可得， ， ∴ ， ， ∴ . 16.如图，在四棱锥 中， 平面 ， ， ， ， . 为 的中点，点 在 上，且 . （Ⅰ）求证： 平面 ； （Ⅱ）求二面角 的余弦值； （Ⅲ）设点 在 上，且 .判断直线 是否在平面 内，说明理由. 【解析】（Ⅰ）证明：∵ 平面 ， 平面 ， ∴ . 又∵ ， . 平面 ， 平面 . ∴ 平面 . （Ⅱ）如图所示，在平面 中过点 作 ，又有 平面 . 则以点 为坐标原点， 、 、 的方向为 ， ， 轴正方向建立空间直角坐标系 . 则各点坐标为 ， ， ， ， . ∵ 为 中点，∴ ，∴ . ∵点 在 上，且 ，∴ ， ∴ . 设平面 的一个法向量为 . 则有 ，即 ， 令 ，则 ， . ∴ . 由（Ⅰ）可知 平面 ， ∴ 可为平面 的一个法向量. ， . 由图可知二面角 为锐角，∴二面角 的余弦值为 . （Ⅲ）直线 在平面 内，∵点 在 上，且 . ∴ ，∴ . ∵ ，∴ . ∵点 在平面 内，∴直线 在平面 内. 17.改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变.近年来，移动支付已成为主要支付方式之一.为了解某校学生上个月 ， 两种移动支付方式的使用情况，从全校学生中随机抽取了 人，发现样本中 ， 两种支付方式都不使用的有 人，样本中仅使用 和仅使用 的学生的支付金额分布情况如下： （Ⅰ）从全校学生中随机抽取 人，估计该学生上个月 ， 两种支付方式都使用的概率； （Ⅱ）从样本仅使用 和仅使用 的学生中各随机抽取 人，以 表示这 人中上个月支付金额大于 元的人数，求 的分布列和数学期望； （Ⅲ）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化.现从样本仅使用 的学生中，随机抽查 人，发现他们本月的支付金额都大于 元.根据抽查结果，能否认为样本仅使用 的学生中本月支付金额大于 元的人数有变化？说明理由. 【解析】（1）记“从全校学生中随机抽取 人，该学生上个月 ， 两种支付方式都使用”为事件 . 由题意知，抽取的总人数为 ， 仅使用 支付的学生人数为 人， 仅使用 支付的学生人数为 人， ， 两种支付方式都不使用的有 人， 则 ， 两种支付方式都用的学生人数为 人， 即 （2）由题意知，随机变量 的可能取值为 . ， ， , 所以 的分布列为 即 （3）不能. 设上月仅用 支付金额大于2000元的人未有变化，记“抽查 人支付金额都大于 元”为事件 ，则 ，小概率事件也有发生的可能，体现了概率的随机性. 18.已知抛物线 经过点 . （Ⅰ）求抛物线 的方程及其准线方程； （Ⅱ）设 为原点，过抛物线 的焦点作斜率不为 的直线 交抛物线 于两点 ， ，直线 分别交直线 ， 于点 和点 .求证：以 为直径的圆经过 轴上的两个定点. 【解析】（1）将 代入方程 ，得 ，解得 ， 所以抛物线 的方程为 ，准线方程为 . （2）由题意可知，直线 斜率不存在时不符合题意，所以直线 斜率存在. 由（1）知抛物线的焦点坐标为 ，可设直线方程为 ， ， ， 将直线 与抛物线 联立 ，可得 ， 恒成立， 根据韦达定理得 ， 所以直线 方程为 ， 直线 方程为 ， 则 ，假设 轴上存在定点 ，所以 ，又因为 点在以 为直径的圆上，所以 ， 即 ，解得 或 ， 假设成立，故以 为直径的圆经过 轴上的两个定点 和 . 19.已知函数 . （Ⅰ）求曲线 的斜率为 的切线方程； （Ⅱ）当 时，求证： ； （Ⅲ）设 ，记 在区间 上的最大值为 . 当 最小时，求 的值. 【解析】（Ⅰ） ， ，令 ，解得 或 . 又 ， ，所求切线方程为 和 . （Ⅱ）令 ， . 令 ，得 或 ， ， 随 的变化情况如下表： ∴ ， ， ， . ∴ 在 上的最大值为 ，最小值为 . ∴ ，即 . （Ⅲ） 由（Ⅱ）知 ， ∴ . 当 时，由（Ⅱ）知， . ①当 时， ，∴ ，∴ . ②当 时， ，∴ ，∴ . ③当 时， . 综上， ，∴当 取得最小值 时， . 20.已知数列 ，从中选取第 项、第 项、 、第 项（ ），若 ，则称新数列 ， ， ， 为 的长度为 的递增子列.规定：数列 的任意一项都是 的长度为 的递增子列. （Ⅰ）写出数列 ， ， ， ， ， ， 的一个长度为 的递增子列； （Ⅱ）已知数列 的长度为 的递增子列的末项的最小值为 ，长度为 的递增子列的末项的最小值为 .若 ，求证： ； （Ⅲ）设无穷数列 的各项均为正整数，且任意两项均不相等.若 的长度为 的递增子列末项的最小值为 ，且长度为 末项为 的递增子列恰有 个（ ， ， ），求数列 的通项公式. 【解析】（1） 或 或 或 或 或 . （2）假设 ， 对于长度为 的递增子列，取其前 项，设第 项为 ，则 ， 该子列为 长度为 的递增子列且末项小于 ，与题干矛盾， 所以假设不成立， . （3）数列 的通项公式为 .利用数学归纳法证明如下： 当 时， ， 中必有 ， 当 时， , 中必有 且按此顺序排列， 当 时, , 中必有 且按此顺序排列， 假设当 时, 中有 … 且按此顺序排列， 将其中前 项视为 个数对,即 … ， 由题意，组成递增子列时每个数对中选取且仅可选取一个数字， 末项为 时，满足条件的递增子列个数为 个， 当 时, 为子列末项， 若 在前 个数对之间，子列末项为 时, 以左的数对个数不超过 , 所以满足条件的递增子列个数不超过 种，不符， 故 位于前 个数对之后， 之前， 在每一个满足条件的以 为长度子列后加上 这一项， 得到 个长度为 的递增子列， 要使数量翻倍只能是将每个子列中的 替换为 ,所以 只能是 的前项或后项， 若 为 的后项, 的前项， 以 为长度的递增子列末项可以为 ，矛盾， 故 必在 之前，因此数列中有 … 按此顺序排列， 对于数列中任意正整数都可表示为 或 ，必满足上述规律， 所以 . |