浙ICP备14012759号 |
QQ：734875680 | 地址：浙江·金华 | 电话：12345678910 |
时间：2019-07-26 点击： 次 来源：网络 作者：佚名 - 小 + 大
| 2019年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷） 数学（理工类） 本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3-5页。 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 祝各位考生考试顺利！ 第Ⅰ卷 注意事项： 1.每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。 2.本卷共8小题，每小题5分，共40分。 参考公式： ·如果事件 、 互斥，那么 . ·如果事件 、 相互独立，那么 . ·圆柱的体积公式 ，其中 表示圆柱的底面面积， 表示圆柱的高. ·棱锥的体积公式 ，其中 表示棱锥的底面面积， 表示棱锥的高. 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.设集合 ，则 A. B. C. D. 2.设变量 满足约束条件 则目标函数 的最大值为 A.2 B.3 C.5 D.6 3.设 ，则“ ”是“ ”的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.阅读右边的程序框图，运行相应的程序，输出 的值为 A.5 B.8 C.24 D.29 5.已知抛物线 的焦点为 ，准线为 ，若 与双曲线 的两条渐近线分别交于点 和点 ，且 （ 为原点），则双曲线的离心率为 A. B. C. D. 6.已知 ， ， ，则 的大小关系为 A. B. C. D. 7.已知函数 是奇函数，将 的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像对应的函数为 .若 的最小正周期为 ，且 ，则 A. B. C. D. 8.已知 ，设函数 若关于 的不等式 在 上恒成立，则 的取值范围为 A. B. C. D. 第Ⅱ卷 注意事项： 1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。 2.本卷共12小题，共110分。 二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9. 是虚数单位，则 的值为 . 10. 是展开式中的常数项为 . 11.已知四棱锥的底面是边长为 的正方形，侧棱长均为 .若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为 . 12.设 ，直线 和圆 （ 为参数）相切，则 的值为 . 13.设 ，则 的最小值为 . 14.在四边形 中， ，点 在线段 的延长线上，且 ，则 . 三.解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15.（本小题满分13分） 在 中，内角 所对的边分别为 .已知 ， . （Ⅰ）求 的值； （Ⅱ）求 的值. 16.（本小题满分13分） 设甲、乙两位同学上学期间，每天7：30之前到校的概率均为 .假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立. （Ⅰ）用 表示甲同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数，求随机变量 的分布列和数学期望； （Ⅱ）设 为事件“上学期间的三天中，甲同学在7：30之前到校的天数比乙同学在7：30之前到校的天数恰好多2”，求事件 发生的概率. 17.（本小题满分13分） 如图， 平面 ， ， . （Ⅰ）求证： 平面 ； （Ⅱ）求直线 与平面 所成角的正弦值； （Ⅲ）若二面角 的余弦值为 ，求线段 的长. 18.（本小题满分13分） 设椭圆 的左焦点为 ，上顶点为 .已知椭圆的短轴长为4，离心率为 . （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）设点 在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点 为直线 与 轴的交点，点 在 轴的负半轴上.若 （ 为原点），且 ，求直线 的斜率. 19.（本小题满分14分） 设 是等差数列， 是等比数列.已知 . （Ⅰ）求 和 的通项公式； （Ⅱ）设数列 满足 其中 . （i）求数列 的通项公式； （ii）求 . 20.（本小题满分14分） 设函数 为 的导函数. （Ⅰ）求 的单调区间； （Ⅱ）当 时，证明 ； （Ⅲ）设 为函数 在区间 内的零点，其中 ，证明 . 2019年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷） 数学（理工类）参考解答 一.选择题：本题考查基本知识和基本运算.每小题5分，满分40分. 1.D 2.C 3.B 4.B 5.D 6.A 7.A 8.C 二.填空题：本题考查基本知识和基本运算.每小题5分，满分30分. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 三.解答题 15.本小题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和正弦公式，二倍角的正弦与余弦公式，以及正弦定理、余弦定理等基础知识.考查运算求解能力，满分13分. （Ⅰ）解：在 中，由正弦定理 ，得 ，又由 ，得 ，即 .又因为 ，得到 ， .由余弦定理可得 . （Ⅱ）解：由（Ⅰ）可得 ，从而 ， ，故 ， 16.本小题主要考查离散型随机变量的分布列与数学期望，互斥事件和相互独立事件的概率计算公式等基础知识.考查运用概率知识解决简单实际问题的能力.满分13分. （Ⅰ）解：因为甲同学上学期间的三天中到校情况相互独立，且每天7：30之前到校的概率均为 ，故 ，从而 . 所以，随机变量 的分布列为 0 1 2 3 随机变量 的数学期望 . （Ⅱ）解：设乙同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数为 ，则 ，且 .由题意知事件 与 互斥，且事件 与 ，事件 与 均相互独立，从而由（Ⅰ）知 . 17.本小题主要考查直线与平面平行、二面角、直线与平面所成的角等基础知识.考查用空间向量解决立体几何问题的方法.考查空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力.满分13分. 依题意，可以建立以 为原点，分别以 的方向为 轴， 轴， 轴正方向的空间直角坐标系（如图），可得 ， .设 ，则 . （Ⅰ）证明：依题意， 是平面 的法向量，又 ，可得 ，又因为直线 平面 ，所以 平面 . （Ⅱ）解：依题意， . 设 为平面 的法向量，则 即 不妨令 ， 可得 .因此有 . 所以，直线 与平面 所成角的正弦值为 . （Ⅲ）解：设 为平面 的法向量，则 即 不妨令 ，可得 . 由题意，有 ，解得 .经检验，符合题意. 所以，线段 的长为 . 18.本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程等基础知识。考查用代数方法研究圆锥曲面的性质.考查运算求解能力，以及用方程思想解决问题的能力.满分13分. （Ⅰ）解：设椭圆的半焦距为 ，依题意， ，又 ，可得 ， . 所以，椭圆的方程为 . （Ⅱ）解：由题意，设 .设直线 的斜率为 ，又 ，则直线 的方程为 ，与椭圆方程联立 整理得 ，可得 ，代入 得 ，进而直线 的斜率 .在 中，令 ，得 .由题意得 ，所以直线 的斜率为 .由 ，得 ，化简得 ，从而 . 所以，直线 的斜率为 或 . 19.本小题主要考查等差数列、等比数列的通项公式及其前 项和公式等基础知识.考查化归与转化思想和数列求和的基本方法以及运算求解能力.满分14分. （Ⅰ）解：设等差数列 的公差为 ，等比数列 的公比为 .依题意得 解得 故 . 所以， 的通项公式为 的通项公式为 . （Ⅱ）（i）解： . 所以，数列 的通项公式为 . （ii）解： . 20.本小题主要考查导数的运算、不等式证明、运用导数研究函数的性质等基础知识和方法.考查函数思想和化归与转化思想.考查抽象概括能力、综合分析问题和解决问题的能力.满分14分. （Ⅰ）解：由已知，有 .因此，当 时，有 ，得 ，则 单调递减；当 时，有 ，得 ，则 单调递增. 所以， 的单调递增区间为 的单调递减区间为 . （Ⅱ）证明：记 .依题意及（Ⅰ），有 ，从而 .当 时， ，故 . 因此， 在区间 上单调递减，进而 . 所以，当 时， . （Ⅲ）证明：依题意， ，即 .记 ，则 ，且 . 由 及（Ⅰ），得 .由（Ⅱ）知，当 时， ，所以 在 上为减函数，因此 .又由（Ⅱ）知， ，故 . 所以， . |